一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知集合A＝，B＝[0，)，则AB＝ ．
答案：{1}
考点：集合的交集运算
解析：∵集合A＝，∴集合A＝{﹣1，1}
∵B＝[0，)，∴AB＝{1}．
2．已知角的始边为x轴的正半轴，点P（1，2）是其终边上一点，则cos的值为 ．
答案：
考点：三角函数的定义
解析：cos ．
3．“m＞1”是“m＞2”的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）．
答案：必要不充分
考点：充分条件、必要条件以及充要条件的判断
解析：∵“m＞2”能推出“m＞1”，但是“m＞1”推不出“m＞2”
∴“m＞1”是“m＞2”的必要不充分条件．
4．若向量＝(l，m)，＝(3，2)，∥，则实数m的值为 ．
答案：
考点：平行（共线）向量坐标运算
解析：∵量＝(l，m)，＝(3，2)，∥，
∴1×2﹣3m＝0，求得m＝．
5．函数的定义域为 ．
答案：[2，)
考点：函数的定义域
解析：∵
∴，解得x≥2，故函数的定义域为[2，)．
6．若函数为奇函数，当x＞0时，，则的值为 ．
答案：﹣3
考点：奇函数的性质
解析：∵函数为奇函数，
∴．
7．设为等差数列的前n项和，若，且公差d≠0，则的值为 ．
答案：
考点：等差数列及其前n项和
解析：∵为等差数列的前n项和，且，
∴，即，故．
8．若sin(＋)＝﹣，则cos2的值为 ．
答案：
考点：诱导公式，倍角公式
解析：∵sin(＋)＝﹣，∴
∴cos2．
9．若函数的图象关于直线x＝a对称，则的最小值是 ．
答案：
考点：三角函数的图像与性质
解析：，其对称轴为，当k＝﹣1时， 最小为．
10．若函数在(﹣1，)上是增函数，则实数a的取值范围是 ．
答案：[0，1]
考点：函数的单调性
解析：由题意得：
或解得a＝0或0＜a≤1，即0≤a≤1，
故实数a的取值范围是[0，1]．
11．若数列满足，＝2，则数列是等比数列，则数列的前19项和的值为 ．
答案：1534
考点：等比数列的定义及前n项和
解析：由题意知，，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
则，，
则，故，
，
∴．
12．如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，，，，，若MN⊥BC，则cosA的值为 ．
答案：
考点：平面向量数量积
解析：，，因为MN⊥BC，
所以，即，
化简得：，又AB＝，AC＝，
计算得＝1，则cosA＝．
13．在△ABC中，AC＝1，AB＝，D为BC的中点，∠CAD＝2∠BAD，则BC的长
若函数(＞0，0＜＜)的图象经过点(0，)，且相邻的两个零点差的绝对值为6．
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，当[﹣1，5]时，求的值域．
解：(1) 相邻的两个零点差的绝对值为6，
记的周期为，则,
又，. ...............................................................................2分
;
的图象经过点，
，， ..................................................4分
函数的解析式为..................................................6分
(2) 将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象,
由(1)得，，
函数的解析式为；.............10分
当时，，则.
综上，当时，的值域为...................................14分
16．（本题满分14分）
设p：“，”；q：“在区间[﹣1，1]上有零点”．
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若pq为真命题，且pq为假命题，求实数a的取值范围．
解：(1) 为真命题，则,；........................... 4分
(2) 为真命题，为假命题,
则一真一假......................................6分
若为真命题，则在在有解，
又的值域为，...........................8分
① 真假,
则..............................10分
② 假真, 则无解......................................12分
综上，实数a的取值范围是................................14分
17．（本题满分14分）
如图所示是某社区公园的平面图，ABCD为矩形，AB＝200米，BC＝100米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD内修建5条道路AE，DE，EF，BF，CF，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF垂直平分边AD，且线段EF的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．
解：（法一）设，过作于，
垂直平分，(米)，
(米)，(米)，
又的中点是矩形的中心，
(米)，
记这5条路总长度为(米)，
则，..................................6分
即，
，.................................8分
化简得，由，可得，.........................10分
列表如下：
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↘ |
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↗ |
由上表可知，当时，取最小值 (米) ..................13分
答：5条道路的总长度的最小值为(米)............................14分
（法二）过作于，设(米)( )
因垂直平分，故(米)，
又的中点是矩形的中心，(米)；
在中，(米)，
由对称性可得，(米)；
记这5条路总长度为(米)，
................................6分
...............................8分
令解得(负值舍)..............................10分
列表如下：
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↘ |
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↗ |
由上表可知，当时，取最小值............................13分
答：5条道路的总长度的最小值为米............................14分
（法三）同方法二得到，以下可用判别式法.
18．（本题满分16分）
如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D为△ABC内一点，满足BD＝CD＝2，且．
（1）求的值；
（2）求边BC的长．
解：（1）设，，，
由，
所以，即，............................2分
又为三角形的内角，所以，..............................4分
在中，，所以，.......................6分
同理，.................................8分
所以，................................10分
（2）在中，，......................12分
同理，.................................14分
由（1）可得，解得................................16分
19．（本题满分16分）
在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a，b，c经过第n次拓展后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
（1）求P1，P2，P3；
（2）若≥2019，求n的最小值；
（3）是否存在实数a，b，c使得数列为等比数列，若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．
解：（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数；
经第2次拓展后的项数；
经第3次拓展后的项数...............................3分
（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第次拓展后的项数为，则经第次拓展后增加的项数为，
所以，..............................5分
所以，
由（1）知，所以，，.....................7分
由，即，解得，
所以的最小值为10.................................8分
（3）设第次拓展后数列的各项为，
所以，
因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以，
即，所以，........................12分
得，，，
因为数列为等比数列，所以，可得，.............................14分
则，由得，
反之，当且时，，，，所以数列为等比数列，
综上，满足的条件为且..........................16分
20．（本题满分16分）
设函数，为常数．
（1）当a＝0时，求函数的图象在点P(0，)处的切线方程；
（2）若函数有两个不同的零点，，①当时，求的最小值；②当＝1时，求的值．
解：（1）当时，，，，，
故所求切线的方程为，即......................2分
（2）①，令，则，
当时恒成立，故在上递减，
令得，故在上递增，又，，的图象在上连续不间断，所以存在唯一实数使得，...............4分
故时，时，所以在上递减，在上递增，
∴，由得，
∴，........................6分
因为函数有两个不同的零点,，所以，得，
由易得，故整数,
当时，，满足题意，
故整数的最小值为.（也可以用零点存在性定理给出证明）................10分
注：由得，不能得到.
②法一：当时，，由得，，
两式相乘得，
得（※）.......................12分
不妨设，由及的单调性可知，..........14分
故，
当时（※）式成立；
当时（※）式左边大于1，右边小于1，（※）式不成立；
当时（※）式左边小于1，右边大于1，（※）式不成立；
综上，...............16分
法二：当时，，
不妨设，由及的单调性可知，.............12分
由得，
∴，.............14分
故函数有两个不同的零点,，又由的单调性可知有且仅有两个不同的零点,，
∴，∴..............................16分
编辑者：上海家教网（www.shmsgtjj.com)