2019学年高三(上)数学 二元一次不等式 单元复习卷


来源:上海家教网 日期:2019/12/20

一  相关知识点

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式

表示区域

AxByC>0

直线AxByC=0某一侧的所有点组成的平面区域

不包括边界直线

AxByC0

包括边界直线

不等式组

各个不等式所表示平面区域的公共部分

 

2.确定二元一次不等式(组)表示平面区域的步骤

(1)确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法

把二元一次不等式AxByC>0(<0)表示为ykxbykxb的形式.若ykxb,则平面区域为直线AxByC=0的上方;若ykxb,则平面区域为直线AxByC=0的下方.

(2)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:

对于AxByC>0或AxByC<0>,则有

①当B(AxByC)>0时,区域为直线AxByC=0的上方;

②当B(AxByC)<0>时,区域为直线AxByC=0的下方.

(3)相关结论:

P1(x1y1)和P2(x2y2)位于直线AxByC=0的两侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)<0;位于直线AxByC=0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)>0.

3.线性规划中的基本概念

名称

意义

约束条件

由变量xy组成的不等式()

线性约束条件

xy一次不等式(或方程)组成的不等式()

目标函数

关于xy的函数解析式,如z=2x+3y

线性目标函数

关于xy一次函数解析式

可行解

满足线性约束条件的解(xy)

可行域

所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数取得最大值最小值的可行解

线性规划问题

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值最小值问题

 

 

4.简单线性规划问题的图解法

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”.即

 

5.求线性目标函数最值应注意的问题

求二元一次函数zaxby(ab≠0)的最值,将函数zaxby转化为直线的斜截式:

y=-b(a)x+b(z),通过求直线的截距b(z)的最值间接求出z的最值,应注意以下两点:

(1)若b>0,则截距b(z)取最大值时,z也取最大值;截距b(z)取最小值时,z也取最小值.

(2)若b<0>,则截距b(z)取最大值时,z取最小值;截距b(z)取最小值时,z取最大值.

题型 二元一次不等式(组)表示的平面区域

类型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定

1.不等式组x<2y>表示的平面区域为(  )

 

 

 

2.观察如图所示的区域,它对应的不等式组是____________________________.

 

 

 

类型二:直接求平面区域的面积

1.不等式组x≤3(x+y≥0,)表示的平面区域的面积为________.

 

2.关于xy的不等式组x+y-4≤0(x-y-2≤0,)表示的平面区域的面积为               

 

 

3.设变量xy满足约束条件y≥3x-6,(x+y≥2,)若满足条件的点P(xy)表示的平面区域为M,则区域M表示的几何图形的周长是               

 

 

 

类型三 含参数的平面区域问题

1.在平面直角坐标系xOy中,若点P(m,1)到直线4x-3y-1=0的距离为4,且点P(m,1)在不等式2xy≥3表示的平面区域内,则m=________.

 

2.点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是________.

 

3.点与位于异侧,则m的范围是                

 

4.已知点和在直线的两侧,则实数a的取值范围是    

 

5.若不等式组x+y>a(3x+y<3>表示的平面区域是一个三角形区域(不包括边界),则实数a的取值范围是                      

 

6.已知关于xy的不等式组kx-y+2≥0,(x+y-2≥0,)所表示的平面区域的面积为3,则实数k的值为________.

 

 

7.若不等式组x+y≤a(y≥0,)表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是               

 

 

题型二 线性目标函数的最值取值范围

1.若xy满足约束条件y≤0,(x-y+1≥0,)则z=3x+2y的最大值为________.

 

 

 

2.若xy满足x+1≤y≤2x,则2yx的最小值是________.

 

 

 

 

3.若xy满足x+y-4≥0,(2x-y-2≤0,)则x+2y的最大值为               

 

 

 

4.设变量xy满足约束条件2x-y-2≤0,(x-2y+2≥0,)则z=3x-2y的最大值为                

 

 

5.已知变量xy满足约束条件x-y-2≤0,(x+y≥0,)则z=2x·4y的最大值为               

 

 

 

6.设实数xy满足不等式组x-2y+4≥0,(y≥|x|,)则2xy的最大值为              

 

 

 

7.已知点A(2,-1),点P(xy)满足线性约束条件x-2y≤4,(y-1≤0,)O为坐标原点,那么―→(OA)·―→(OP)的最小值是                      

 

 

 

 

8.已知点MN是平面区域x+y-2≥0(x-2y+4≥0,)内的两个动点,a=(1,2),则―→(MN)·a的最大值为                         

 

 

 

 

9.若平面区域x-2y+3≥0(2x-y-3≤0,)夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是           

 

 

 

 

 

10.设变量xy满足约束条件x≥-2(x+3y ≤4,)则z=|x-3y|的取值范围是             

 

 

 

 

题型三 非线性目标函数的最值取值范围

非线性目标函数最值问题的常见类型及求法

距离平方型

目标函数为z=(xa)2+(yb)2时,可转化为可行域内的点(xy)与点(ab)之间的距离的平方求解

斜率型

对形如zcx+d(ay+b)(ac0)型的目标函数,可利用斜率的几何意义来求最值,即先变形为zc(a)·c(d)的形式,将问题化为求可行域内的点(xy)与点a(b)连线的斜率的c(a)倍的取值范围、最值等

点到直线距离型

对形如z=|AxByC|型的目标函数,可先变形为z·A2+B2(|Ax+By+C|)的形式,将问题化为求可行域内的点(xy)到直线AxByC=0的距离的倍的最值

 

1.实数xy满足y≤2.(x≥0,)

(1)若z=x(y),求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;

(2)若zx2y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围;

(3)求目标函数z=x-1(y-1)的取值范围;

(4)求目标函数zx2y2-2x-2y+3的最值.

 

 

 

 

 

2.已知变量xy满足约束条件x+y-7≤0,(x≥1,)则x(y)的取值范围是             

 

 

 

 

3.已知实数xy满足不等式组x+y≤4,(y≥2,)若点P(2ab,3ab)在该不等式组所表示的平面区域内,则a-1(b+2)的取值范围是             

 

 

 

 

 

 

4.设实数xy满足约束条件3x+y-10≥0,(x+y-4≤0,)则zx2y2的最小值为________.

 

 

 

 

5.设实数xy满足2x+y-10≤0,(x+2y-14≤0,)则x2y2的最小值为________.

 

 

 

6.若xy满足约束条件x2+y2≤4,(x-y≤0,)则z=x+3(y-2)的最小值为            

 

 

7.在平面直角坐标系中,不等式组x2+y2≤r2(x-y≤0,)(r为常数)表示的平面区域的面积为π,若xy满足上述约束条件,则z=x+3(x+y+1)的最小值为                

 

 

 

题型四 线性规划中的参数问题求参数的值或取值范围

1.若变量xy满足约束条件y≥k,(x+y≤6,)且z=3xy的最小值为-8,则k=________.

 

 

2.设实数xy满足0≤y≤k,(x-y≤0,)若目标函数zxy的最大值为6,则z的最小值为      

 

 

 

3.实数xy满足不等式组-1≤x+y≤1,(-3≤3x-y≤-1,)若zaxy有最大值2(5),则a的值为    

 

 

 

4.若实数xy满足约束条件3x-y≤3,(x-y≥-1,)目标函数zax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则实数a的取值范围是           

 

 

 

 

5.如图,目标函数zkxy的可行域为四边形OABC(含边界),A(1,0),C(0,1),若B3(2)为目标函数取得最大值的最优解,则k的取值范围是_______

 

 

 

 

6.已知xy满足约束条件2x-y+2≥0,(x-2y-2≤0,)若zyax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为                

 

 

 

7.已知xy满足x≤3,(x+y≥0,)若使得zaxy取最大值的点(xy)有无数个,则a的值为________.

 

8.已知实数xy满足x+y≤2,(x-2≤2y,)若zxmy(m>0)的最大值为4,则m=________.

 

 

 

 

9.若实数xy满足不等式组x-my+1≥0,(2x-y-3≤0,)其中m>0,且xy的最大值为9,则实数m=________.

 

 

 

 

10.若xy满足3x-2y+2≥0(mx-y≤0,)且z=3xy的最大值为2,则实数m的值为            

 

 

 

11.若xy满足约束条件2x-y≤2.(x-y≥-1,)

(1)求目标函数z=2(1)xy+2(1)的最值;

(2)若目标函数zax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

题型五 线性规划的实际应用

1.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克,B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克,每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元,公司在要求每天消耗AB原料都不超过12千克的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为(  )

A.1 800元     B.2 100元     C.2 400元     D.2 700元

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