一 相关知识点
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
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不等式 |
表示区域 |
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Ax＋By＋C＞0 |
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 |
不包括边界直线 |
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Ax＋By＋C≥0 |
包括边界直线 |
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不等式组 |
各个不等式所表示平面区域的公共部分 |
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2.确定二元一次不等式(组)表示平面区域的步骤
（1）确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法
把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
（2）利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0>，则有
①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
②当B(Ax＋By＋C)<0>时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
（3）相关结论：
点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.
3．线性规划中的基本概念
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名称 |
意义 |
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约束条件 |
由变量x，y组成的不等式(组) |
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线性约束条件 |
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) |
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目标函数 |
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 |
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线性目标函数 |
关于x，y的一次函数解析式 |
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可行解 |
满足线性约束条件的解(x，y) |
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可行域 |
所有可行解组成的集合 |
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最优解 |
使目标函数取得最大值或最小值的可行解 |
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线性规划问题 |
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 |
4.简单线性规划问题的图解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即
5．求线性目标函数最值应注意的问题
求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：
y＝－b(a)x＋b(z)，通过求直线的截距b(z)的最值间接求出z的最值，应注意以下两点：
(1)若b>0，则截距b(z)取最大值时，z也取最大值；截距b(z)取最小值时，z也取最小值．
(2)若b<0>，则截距b(z)取最大值时，z取最小值；截距b(z)取最小值时，z取最大值．
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
类型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定
1．不等式组x<2y>表示的平面区域为( )
2．观察如图所示的区域，它对应的不等式组是____________________________．
类型二：直接求平面区域的面积
1．不等式组x≤3(x＋y≥0，)表示的平面区域的面积为________．
2．关于x，y的不等式组x＋y－4≤0(x－y－2≤0，)表示的平面区域的面积为
3．设变量x，y满足约束条件y≥3x－6，(x＋y≥2，)若满足条件的点P(x，y)表示的平面区域为M，则区域M表示的几何图形的周长是
类型三 含参数的平面区域问题
1．在平面直角坐标系xOy中，若点P(m,1)到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P(m,1)在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝________.
2．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．
3．点与位于异侧，则m的范围是
4．已知点和在直线的两侧，则实数a的取值范围是
5．若不等式组x＋y>a(3x＋y<3>表示的平面区域是一个三角形区域(不包括边界)，则实数a的取值范围是
6．已知关于x，y的不等式组kx－y＋2≥0，(x＋y－2≥0，)所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为________．
7．若不等式组x＋y≤a(y≥0，)表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是
题型二 线性目标函数的最值（取值范围）
1．若x，y满足约束条件y≤0，(x－y＋1≥0，)则z＝3x＋2y的最大值为________．
2．若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
3．若x，y满足x＋y－4≥0，(2x－y－2≤0，)则x＋2y的最大值为
4．设变量x，y满足约束条件2x－y－2≤0，(x－2y＋2≥0，)则z＝3x－2y的最大值为
5．已知变量x，y满足约束条件x－y－2≤0，(x＋y≥0，)则z＝2x·4y的最大值为
6．设实数x，y满足不等式组x－2y＋4≥0，(y≥|x|，)则2x＋y的最大值为
7．已知点A(2，－1)，点P(x，y)满足线性约束条件x－2y≤4，(y－1≤0，)O为坐标原点，那么―→(OA)·―→(OP)的最小值是
8．已知点M，N是平面区域x＋y－2≥0(x－2y＋4≥0，)内的两个动点，a＝(1,2)，则―→(MN)·a的最大值为
9．若平面区域x－2y＋3≥0(2x－y－3≤0，)夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是
10．设变量x，y满足约束条件x≥－2(x＋3y ≤4，)则z＝|x－3y|的取值范围是
题型三 非线性目标函数的最值（取值范围）
非线性目标函数最值问题的常见类型及求法
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距离平方型 |
目标函数为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解 |
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斜率型 |
对形如z＝cx＋d(ay＋b)(ac≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z＝c(a)·c(d)的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点a(b)连线的斜率的c(a)倍的取值范围、最值等 |
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点到直线距离型 |
对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先变形为z＝·A2＋B2(|Ax＋By＋C|)的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值 |
1．实数x，y满足y≤2.(x≥0，)
(1)若z＝x(y)，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；
(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围；
(3)求目标函数z＝x－1(y－1)的取值范围；
(4)求目标函数z＝x2＋y2－2x－2y＋3的最值．
2.已知变量x，y满足约束条件x＋y－7≤0，(x≥1，)则x(y)的取值范围是
3．已知实数x，y满足不等式组x＋y≤4，(y≥2，)若点P(2a＋b,3a－b)在该不等式组所表示的平面区域内，则a－1(b＋2)的取值范围是
4．设实数x，y满足约束条件3x＋y－10≥0，(x＋y－4≤0，)则z＝x2＋y2的最小值为________．
5．设实数x，y满足2x＋y－10≤0，(x＋2y－14≤0，)则x2＋y2的最小值为________．
6．若x，y满足约束条件x2＋y2≤4，(x－y≤0，)则z＝x＋3(y－2)的最小值为
7．在平面直角坐标系中，不等式组x2＋y2≤r2(x－y≤0，)(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝x＋3(x＋y＋1)的最小值为
题型四 线性规划中的参数问题（求参数的值或取值范围）
1．若变量x，y满足约束条件y≥k，(x＋y≤6，)且z＝3x＋y的最小值为－8，则k＝________.
2．设实数x，y满足0≤y≤k，(x－y≤0，)若目标函数z＝x＋y的最大值为6，则z的最小值为
3．实数x，y满足不等式组－1≤x＋y≤1，(－3≤3x－y≤－1，)若z＝ax＋y有最大值2(5)，则a的值为
4．若实数x，y满足约束条件3x－y≤3，(x－y≥－1，)目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a的取值范围是
5．如图，目标函数z＝kx＋y的可行域为四边形OABC(含边界)，A(1,0)，C(0,1)，若B3(2)为目标函数取得最大值的最优解，则k的取值范围是_______
6．已知x，y满足约束条件2x－y＋2≥0，(x－2y－2≤0，)若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为
7.已知x，y满足x≤3，(x＋y≥0，)若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为________.
8.已知实数x，y满足x＋y≤2，(x－2≤2y，)若z＝x－my(m＞0)的最大值为4，则m＝________.
9.若实数x，y满足不等式组x－my＋1≥0，(2x－y－3≤0，)其中m＞0，且x＋y的最大值为9，则实数m＝________.
10.若x，y满足3x－2y＋2≥0(mx－y≤0，)且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为
11．若x，y满足约束条件2x－y≤2.(x－y≥－1，)
(1)求目标函数z＝2(1)x－y＋2(1)的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
题型五 线性规划的实际应用
1．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为( )
A．1 800元 B．2 100元 C．2 400元 D．2 700元
编辑者：上海家教网（www.shmsgtjj.com)